球体积计算公式

为了球体积的计算公式，我们采用了积分方法。设想一个拥有半径 \(r\)的球体，其方程表达为 \(x² + y² + z² = r²\)。我们将这个球体沿着z轴切割成许多薄圆片，每一片的厚度定义为 \(dz\)。在沿着z轴的高度 \(z\)处，这些薄片的半径相应调整为\(\sqrt{r² - z²}\)，因此每一片的面积可计算为\(\pi (r² - z²)\)。

球体的体积则可以通过积分这些薄片的面积，从 \(z = -r\) 到 \(z = r\)的总和来推导：

\(V = \int_{-r}^{r} \pi (r² - z²) \, dz\)

由于球体的对称性，我们只需计算从0到 \(r\)的积分，之后再乘以2：

\(V = 2\pi \int_{0}^{r} (r² - z²) \, dz\)

进一步计算这个积分，我们得到：

\(\int_{0}^{r} (r² - z²) \, dz = \left[ r²z - \frac{z³}{3} \right]_{0}^{r} = (r³ - \frac{r³}{3}) - 0 = \frac{2}{3}r³\)

球的体积公式为：

\(V = 2\pi \cdot \frac{2}{3}r³ = \frac{4}{3}\pi r³\)

通过精细的积分方法以及对球体对称性的考虑，我们成功验证了球体积公式的正确性。这一公式简洁明了地表达了球的体积与其半径之间的关系，公式为：

\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

这一结果不仅体现了数学的严谨性，也展示了积分方法在几何问题中的强大应用。